RE: Błędy poznawcze - Efekt potwierdzenia [#62]
You are viewing a single comment's thread:
Dlatego dobrą dziedziną nauki do badań jest matematyka, bo tam nie można sobie zrobić badania pod tezę (chyba, że ktoś zrobi jakąś "praktyczną" publikację typu jakiś machine learning z zabawą na konkretnych danych, a nie ogólną gdzie się dowodzi jakieś ściśle sformułowane twierdzenia). Każde twierdzenie jest albo prawdziwe albo fałszywe, może się co najwyżej okazać, że jest niedowodliwe przy zbyt małej liczbie aksjomatów. Lecz i tu musieli się pojawić konstruktywiści oraz logicy intuicjonistyczni. Konstruktywiści uznają tylko dowody konstruktywne, czyli oni nie uznają dowodów które dowodzą że jakieś obiekty istnieją, ale które nie wskazują choć jednego "namacalnego" takiego obiektu, np. metoda probabilistyczna Paula Erdosa jest taką metodą dowodową. Z kolei logicy intuicjonistyczni nie uznają dowodów przez zaprzeczenie, czyli nie lubią jak dowodzisz, że obiekt o jakichś własnościach musi istnieć, bo jeśli przyjmiemy że nie istnieje żaden, to otrzymamy sprzeczność z czymś co już znamy.
Pod koniec gimnazjum, kiedy odwiedzałem różne szkoły aby podjąć decyzję dotyczącą dalszej edukacji byłem na dniach otwartych jednej ze szkół. Akurat była prezentacja kółka matematycznego, którego członkowie przekonywali, że istnieje trójkąt z trzema kontami prostymi. Przekonali.
Jak to jest możliwe Panie Macieju?
Nie wiem dokładnie co oni mówili, natomiast od razu pomyślałem o trójkącie na sferze. Wyobraź sobie Ziemię, jeden wierzchołek trójkąta to biegun północny, a pozostałe dwa są na tym samym równoleżniku, na przykład na równiku. Na rozmaitości różniczkowej kąt między krzywymi (w tym przypadku bokami trójkąta) to kąt między wektorami stycznymi do tych krzywych w punkcie przecięcia.
W tym trójkącie wszystkie kąty mają 90 stopni. Oczywiście to jest trójkąt na sferze, nie na płaskiej płaszczyźnie taki jak w szkole.
Więcej można przeczytać tutaj: https://en.wikipedia.org/wiki/Gauss%E2%80%93Bonnet_theorem
W skrócie: sfera ma dodatnią krzywiznę, więc jest trójkąt który ma ponad 180 (czyli PI) stopni, w tym przypadku 270 stopni. Na rozmaitości z ujemną krzywizną z kolei moglibyśmy skonstruować trójkąt którego suma kątów ma mniej niż 180 stopni.
Bingo:) Dokładnie o tym mówili. Byłem ciekaw czy może są jeszcze jakieś inne opcje.
Ale fakt, nie da się chyba znaleźć bardziej ścisłej dziedziny nauki. Czy mimo to są jakieś poważne spory dotyczące wyników badań w matematyce?
Tak, są.
Na przykład w 1976 roku dwóch matematyków udowodniło twierdzenie o 4-kolorowalności grafów planarnych. Tyle, że przeprowadzili oni skomplikowane rozumowanie w wyniku którego dowiedli, że jeśli kilka tysięcy konkretnych grafów planarnych są 4-kolorowalne, to wszystkie grafy planarne są 4-kolorowalne. Ponieważ tych grafów było za dużo do przerobienia przez człowieka, napisali oni program komputerowy który sprawdził te kilka tysięcy konkretnych grafów. I to w latach 70-80-tych wielu matematykom się nie spodobało.
Co ciekawe, przez kilkadziesiąt lat uproszczono ich dowód, ale do dzisiaj nie ma dowodu tego twierdzenia który nie korzystałby z pomocy komputera.