20-11-2024 - Analytic Geometry - Eigenvalues ​​and Eigenvectors [EN]-[IT]

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ENGLISH
20-11-2024 - Analytic Geometry - Eigenvalues ​​and Eigenvectors [EN]-[IT]
With this post I would like to give a short instruction about the topic mentioned in the subject
(code notes: X_73)

Eigenvalues ​​and Eigenvectors
Description
Eigenvectors and eigenvalues ​​of endomorphisms can be thought of as the directions and the factors of lengthening, or shortening, of an endomorphism, respectively.
With eigenvalues ​​and eigenvectors, linear transformations represented by matrices can be analyzed. These concepts help to understand how a transformation acts on a vector space.

Definition
Let A be a square matrix of dimension n x n, and let v be a non-zero vector of dimension n. If there exists a scalar such that...

then:
-λ is called the eigenvalue of A
-v is called the eigenvector associated with the eigenvalue

Geometric concept
-Eigenvectors are invariant directions of the transformation A, i.e. directions in space that are not "tilted" by the transformation.
-Eigenvalues ​​represent the scaling factor along those directions.

Example

Find an eigenvector of the following matrix relative to the corresponding eigenvalue (λ)

-01
Write A - λI
The matrix A - λI is calculated by subtracting λ from the diagonal of A

-02 Let us now solve the system (A - λI) v = 0 so…

This leads back to the following system linear

Since the equations are identical we can simplify by choosing just one:

-03
Now let's find the relationship between x and y by simplifying the equation.

so we get the value of x

-04
To get an eigenvector we need to assign an arbitrary value to y. Warning: the value must not be 0.
In this case we choose that y = 3.
As a consequence we will have that:

The associated eigenvector is:

Result
A eigenvector relative to the eigenvalue λ = -1 is…

Conclusions
Eigenvalues ​​and eigenvectors are fundamental concepts in linear algebra and analytic geometry, closely related to linear transformations.

Question
Do you remember studying eigenvalues ​​and eigenvectors at school?

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[ITALIAN]
20-11-2024 - Geometria analitica - Autovalori e autovettori [EN]-[IT]
Con questo post vorrei dare una breve istruzione a riguardo dell’argomento citato in oggetto
(code notes: X_73)

Autovalori e autovettori
Descrizione
Gli autovettori e gli autovalori degli endomorfismi possono essere pensati rispettivamente come le direzioni e i fattori di allungamento, o di accorciamento, di un endomorfismo.
Con gli autovalori e autovettori si possono analizzare trasformazioni lineari rappresentate da matrici. Questi concetti aiutano a comprendere come una trasformazione agisce su uno spazio vettoriale.

Definizione
Sia A una matrice quadrata di dimensione n x n, e sia v un vettore non nullo di dimensione n. Se esiste uno scalare tale che...

allora:
-λ è detto autovalore di A
-v è detto autovettore associato all’autovalore

Concetto geometrico
-Gli autovettori sono direzioni invarianti della trasformazione A, cioè direzioni nello spazio che non vengono "inclinate" dalla trasformazione.
-Gli autovalori rappresentano il fattore di scalatura lungo quelle direzioni.

Esempio

Trovare un autovettore della seguente matrice relativamente al corrispondente autovalore (λ)

-01
Scrivere A - λI
La matrice A - λI si calcola sottraendo λ dalla diagonale di A

-02
Risolviamo ora il sistema (A - λI) v = 0
quindi…

Questo si riconduce al seguente sistema lineare

Siccome le equazioni sono identiche possiamo semplificare scegliendone una sola:

-03
Troviamo ora la relazione tra x e y semplificando l’equazione.

quindi otteniamo il valore di x

-04
Per ottenere un autovettore dobbiamo assegnare un valore arbitrario a y. Attenzione il valore non deve essere 0.
In questo caso scegliamo che y = 3.
Di conseguenza avremo che:

L'autovettore associato è:

Risultato
Un autovettore relativo all’autovalore λ = -1 è…

Conclusioni
Gli autovalori e gli autovettori sono concetti fondamentali in algebra lineare e geometria analitica, strettamente legati alle trasformazioni lineari.

Domanda
Ricordato di aver studiato a scuola gli autovalori e autovettori?

THE END